SEJARAH MATEMATIKA

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.  Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.  Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Archimedes (bahasa Yunani: Αρχιμήδης; k.k. 287 SM – 212 SM) adalah seorang ahli matematik, ahli fizik, jurutera, ahli astronomi, dan ahli falsafah Yunani yang dilahirkan di bandar pelabuhan tanah jajahan Syracuse, Sicily, Itali. Beliau telah dianggap oleh sesetengah ahli sejarah matematik sebagai salah satu daripada ahli-ahli matematik kuno yang terutama. Carl Friedrich Gauss yang sering dipanggil sebagai ahli matematik yang paling terpengaruh, mendakwa bahawa Archimedes adalah salah satu daripada tiga ahli matematik yang paling penting (yang lain itu ialah Isaac Newton dan Ferdinand Eisenstein). Selain daripada sumbangan-sumbangan teori asasnya kepada matematik, Archimedes juga membentuk bidang-bidang fizik dan kejuruteraan amali, dan telah dirujuk sebagai "ahli sains yang teragung". 

Archimedes ialah saudara kepada keluarga pemerintahan Syracuse (Saracussia), sebuah kemaharajaan bandar pelabuhan. Raja Hiero II yang, menurut khabar angin, merupakan bapa saudara Archimedes, menitahkannya untuk mereka bentuk dan memasang siap sebuah kelas kapal yang baru untuk angkatan tentera laut yang amat penting untuk mengekalkan kelas pemerintahan di Syracuse. Hiero II telah berjanji memberikan banyak biji-bijian kepada Rom di utara sebagai ganti untuk keamanan. Menghadapi perang apabila tidak dapat menunaikan janjinya, Hiero II menitahkan Archimedes untuk mengembangkan sebuah baj mewah/bekalan/perang besar yang dapat diubahkan mengikut keperluan-keperluan angkatan tentera laut yang berubah-ubah. Mengikut khabar angin, Skru Archimedies sebenarnya merupakan suatu rekaan yang tidak sengaja kerana dia memerlukan suatu alat untuk membuang air bilga. Kapal itu yang dinamakan Saracussia sempena negaranya mungkin merupakan sebuah mitos. Tidak terdapat rekod seni faundri atau barang-barang lain untuk menyokong ciptaan ini. Kapal ini hanya disokong oleh huraian Plato yang mengatakan bahawa "ia merupakan persamaan paling megah yang pernah belayar."

Archimedes diberikan penghargaan untuk banyak rekaan dan temuan, dengan sebilangannya masih digunakan pada hari ini seperti skru Archimedes. Dia masyhur untuk kapi majmuk, sebuah sistem kapi yang digunakan untuk mengangkat beban-beban yang berat seperti kapal. Archimedes membuat banyak mesin perang untuk Hiero II, penaung dan kawannya. Dia juga menghasilkan banyak karya mengenai geometri yang termasuk mengira luas permukaan dan isi padu pepejal dengan tepat. Karya yang memberikannya kemasyhuran ialah teori jasad-jasad terapung. Dia menyediakan hukum-hukum pengapungan dan mengembangkan prinsip Archimedes yang masyhur. 

Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.

Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa , hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.

Hal ini sering berpikir bahwa matematika hanya dapat berkembang setelah peradaban telah mengembangkan beberapa bentuk tulisan. Although not easy for us to understand today, many civilisations reached highly advanced states without ever developing written records. Meskipun tidak mudah bagi kita untuk memahami hari ini, banyak peradaban mencapai negara yang sangat maju tanpa pernah berkembang catatan tertulis. Now of course it is difficult for us to know much about such civilisations since there is no written record to be studied today. Sekarang tentu saja sulit bagi kita untuk mengetahui banyak tentang peradaban tersebut karena tidak ada catatan tertulis untuk dipelajari hari ini. This article looks at the mathematical achievements of one such civilisation. Artikel ini melihat pada prestasi matematika dari satu peradaban tersebut.

The civilisation we discuss, which does not appear to have found a need to develop writing, is that of the Incas. Peradaban kita bahas, yang tidak tampaknya telah menemukan kebutuhan untuk mengembangkan tulisan, adalah bahwa dari suku Inca. The Inca empire which existed in 1532, before the Spanish conquest, was vast. Kerajaan Inca yang ada pada tahun 1532, sebelum penaklukan Spanyol, sangat luas. It spread over an area which stretched from what is now the northern border of Ecuador to Mendoza in west-central Argentina and to the Maule River in central Chile. Ini tersebar di wilayah yang membentang dari apa yang sekarang menjadi perbatasan utara Ekuador ke Mendoza di Argentina barat-tengah dan Sungai Maule di Chili tengah. The Inca people numbered around 12 million but they were from many different ethnic groups and spoke about 20 different languages. Orang-orang Inca berjumlah sekitar 12 juta, namun mereka berasal dari banyak kelompok etnis yang berbeda dan berbicara sekitar 20 bahasa yang berbeda. The civilisation had reached a high level of sophistication with a remarkable system of roads, agriculture, textile design, and administration. Peradaban telah mencapai tingkat kecanggihan yang tinggi dengan sistem yang luar biasa jalan, pertanian, desain tekstil, dan administrasi. Of course even if writing is not required to achieve this level, counting and recording of numerical information is necessary. Tentu saja bahkan jika menulis tidak diperlukan untuk mencapai tingkat ini, menghitung dan pencatatan informasi numerik diperlukan. The Incas had developed a method of recording numerical information which did not require writing. Suku Inca telah mengembangkan metode pencatatan informasi numerik yang tidak memerlukan menulis. It involved knots in strings called quipu. Hal yang terlibat simpul dalam string disebut quipu.

The quipu was not a calculator, rather it was a storage device. quipu itu tidak kalkulator, melainkan adalah sebuah perangkat penyimpanan. Remember that the Incas had no written records and so the quipu played a major role in the administration of the Inca empire since it allowed numerical information to be kept. Ingat bahwa Inca tidak memiliki catatan tertulis dan sebagainya quipu memainkan peran utama dalam administrasi kerajaan Inca karena diperbolehkan informasi numerik untuk disimpan. Let us first describe the basic quipu, with its positional number system, and then look at the ways that it was used in Inca society. Mari kita menggambarkan quipu dasar, dengan sistem nomor posisi, dan kemudian melihat cara yang digunakan dalam masyarakat Inca.

The quipu consists of strings which were knotted to represent numbers. quipu ini terdiri dari senar yang kusut untuk mewakili angka. A number was represented by knots in the string, using a positional base 10 representation. Sejumlah diwakili oleh simpul dalam string, menggunakan basis representasi 10 posisi. If the number 586 was to be recorded on the string then six touching knots were placed near the free end of the string, a space was left, then eight touching knots for the 10s, another space, and finally 5 touching knots for the 100s. Jika nomor 586 adalah untuk dicatat pada string lalu enam knot menyentuh ditempatkan di dekat ujung bebas dari string, spasi yang tersisa, kemudian delapan knot menyentuh untuk 10s, ruang lain, dan akhirnya 5 knot menyentuh untuk 100s.

586 on a quipu . 586 pada sebuah quipu.

For larger numbers more knot groups were used, one for each power of 10, in the same way as the digits of the number system we use here are occur in different positions to indicate the number of the corresponding power of 10 in that position. Untuk nomor-nomor yang lebih besar kelompok simpul lebih banyak digunakan, satu untuk setiap pangkat 10, dengan cara yang sama dengan digit nomor sistem yang kita gunakan di sini adalah terjadi pada posisi yang berbeda untuk menunjukkan jumlah kekuatan yang sesuai dari 10 dalam posisi itu.

Now it is not quite true that the same knots were used irrespective of the position as would be the case in a true positional system. Sekarang tidak cukup benar bahwa knot yang sama digunakan terlepas dari posisi sebagai akan menjadi kasus dalam sistem posisional sejati. There seems only one exception, namely the unit position, where different styles of knots were used from those in the other positions. Tampaknya hanya ada satu pengecualian, yaitu posisi unit, di mana gaya yang berbeda dari knot digunakan dari orang-orang di posisi lain. In fact two different styles were used in the units position, one style if the unit were a 1 and a second style if the unit were greater than one. Bahkan dua gaya yang berbeda digunakan dalam posisi unit, satu gaya jika unit adalah 1 dan gaya kedua jika unit lebih besar dari satu. Both these styles differed from the standard knot used for all other positions. Kedua gaya berbeda dari simpul standar yang digunakan untuk semua posisi lainnya. The system had a zero position, for this would be represented as no knots in that position. Sistem ini memiliki posisi nol, karena ini akan diwakili karena tidak ada knot di posisi itu. This meant that the spacing had to be highly regular so that zero positions would be clear. Ini berarti bahwa jarak itu harus sangat teratur sehingga posisi nol akan jelas.

There are many drawings and descriptions of quipus made by the Spanish invaders. Ada banyak gambar dan deskripsi quipus yang dibuat oleh para penjajah Spanyol. Garcilaso de la Vega, whose mother was an Inca and whose father was Spanish, wrote (see for example [ 5 ]):- Garcilaso de la Vega, yang ibunya adalah seorang Inca dan yang ayahnya adalah Spanyol,

According to their position, the knots signified units, tens, hundreds, thousands, ten thousands and, exceptionally, hundred thousands, and they are all well aligned on their different cords as the figures that an accountant sets down, column by column, in his ledger. Sesuai dengan posisi mereka, knot ditandakan unit, puluhan, ratusan, ribuan sepuluh ribu, dan, sangat, ratusan ribu, dan mereka semua juga sejalan di atas kabel yang berbeda mereka sebagai tokoh yang seorang akuntan set bawah, kolom dengan kolom, dalam bukunya buku besar.

Now of course recording a number on a string would, in itself, not be that useful. Sekarang tentu saja rekaman nomor pada tali itu akan, dalam dirinya sendiri, itu tidak berguna. A quipu had many strings and there had to be some way that the string carrying the record of a particular number could be identified. quipu Seorang senar banyak dan harus ada beberapa cara yang string membawa catatan nomor tertentu dapat diidentifikasi. The primary way this was done was by the use of colour. Cara utama ini dilakukan adalah dengan menggunakan warna. Numbers were recorded on strings of a particular colour to identify what that number was recording. Bilangan direkam pada string dari suatu warna tertentu untuk mengidentifikasi nomor apa yang sedang merekam. For example numbers of cattle might be recorded on green strings while numbers of sheep might be recorded on white strings. Misalnya jumlah sapi dapat terekam pada string hijau sedangkan jumlah domba dapat terekam pada string putih. The colours each had several meanings, some of which were abstract ideas, some concrete as in the cattle and sheep example. Warna masing-masing memiliki beberapa arti, beberapa ide-ide yang abstrak, beberapa beton seperti dalam contoh sapi dan domba. White strings had the abstract meaning of "peace" while red strings had the abstract meaning of "war". string Putih memiliki arti abstrak "damai" sementara string merah memiliki arti abstrak "perang".

As well as the colour coding, another way of distinguishing the strings was to make some strings subsidiary ones, tied to the middle of a main string rather than being tied to the main horizontal cord. Seperti halnya warna pengkodean, cara lain untuk membedakan string adalah string yang membuat beberapa anak perusahaan, terikat ke tengah string utama bukannya terikat kabel horizontal utama.

 Quipu with subsidiary cords . Quipu dengan tali anak.

The ordinary judges gave a monthly account of the sentences they imposed to their superiors, and they in turn reported to their immediate superiors, and so on finally to the Inca or those of his Supreme Council. Para hakim biasa memberikan rekening bulanan kalimat mereka dikenakan kepada atasan mereka, dan mereka pada gilirannya dilaporkan kepada atasan langsung mereka, dan seterusnya akhirnya ke Inca atau mereka-nya Dewan Tertinggi. The method of making these reports was by means of knots, made of various colours, where knots of such and such colours denote that such and such crimes had been punished. Metode pembuatan laporan-laporan ini adalah dengan cara knot, terbuat dari berbagai warna, di mana knot dan seperti menunjukkan warna seperti itu dan seperti kejahatan tersebut telah dihukum. Smaller threads attached to thicker cords were of different colours to signify the precise nature of the punishment that had been inflicted. benang yang lebih kecil yang melekat pada kabel tebal adalah warna berbeda untuk menandakan sifat yang tepat dari hukuman yang telah ditimbulkan.

It was not only judges who sent quipus to be kept in a central record. Bukan hanya hakim yang mengirim quipus untuk disimpan dalam catatan pusat. The Inca king appointed quipucamayocs, or keepers of the knots, to each town. Raja Inca ditunjuk quipucamayocs, atau penjaga knot, ke kota masing-masing. Larger towns might have had up to thirty quipucamayocs who were essentially government statisticians, keeping official census records of the population, records of the produce of the town, its animals and weapons. Kota-kota besar mungkin memiliki sampai dengan tiga puluh quipucamayocs yang dasarnya statistik pemerintah, menyimpan catatan resmi sensus penduduk, catatan produksi kota, binatang dan senjata. This and other information was sent annually to the capital Cuzco. Ini dan informasi lainnya dikirim setiap tahun ke ibukota Cuzco. There was even an official delivery service to take to quipus to Cuzco which consisted of relay runners who passed the quipus on to the next runner at specially constructed staging posts. Bahkan ada layanan pengiriman resmi untuk dibawa ke quipus ke Cuzco yang terdiri dari pelari relay yang lulus quipus ke pelari berikutnya di posting pementasan khusus dibangun. The terrain was extremely difficult yet the Incas had constructed roads to make the passing of information by quipus surprisingly rapid. daerah ini sangat sulit namun Inca telah membangun jalan untuk membuat informasi yang lewat dengan mengherankan quipus cepat.